Главное в материале

  • Парадокс Кондорсе (конец XVIII века) показывает, что правило простого большинства может не давать победителя при трёх кандидатах.
  • В 1951 году Кеннет Эрроу доказал: выполнить все естественные требования к голосованию можно лишь при «диктаторе».
  • Модели Алескерова и Айзермана, развивающие теорему Эрроу, привели к тому же выводу.

Идеальной системы голосования не существует — это математически доказано

Идеальной системы голосования не существует и никогда не будет существовать — это строго доказано математически. Об этом «Газете.Ru» рассказал математик Фуад Алескеров, директор Международного центра анализа и выбора решений НИУ ВШЭ и заведующий лабораторией теории выбора Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. По его словам, несовершенность правила большинства отмечали ещё в античности, а самое раннее свидетельство его опасности оставили средневековые летописцы.

От Новгорода до Кондорсе

В качестве раннего примера Алескеров привёл случай из Великого Новгорода XIII века: на выборах управляющего городом мнения разделились, с небольшим отрывом победил один из кандидатов, после чего началась междоусобица. «Как написано в хрониках, я почти цитирую, через два-три дня все остановили, похоронили убитых, сели, стали опять голосовать и выбрали того же человека», — рассказал учёный.

Парадокс Кондорсе и «карусель»

Первое строгое доказательство появилось в конце XVIII века, накануне Французской революции: маркиз Кондорсе показал, что при трёх кандидатах и расходящихся мнениях избирателей подводит даже правило простого большинства. Парадокс проще всего показать на «карусели»: если для трети избирателей А лучше Б, а Б лучше В; для второй трети Б лучше В, а В лучше А; для третьей В лучше А, а А лучше Б, то А побеждает Б, Б побеждает В, а В побеждает А — круг замыкается, победителя нет. «Весь XIX век и половину XX века люди пытались придумать процедуры, свободные от этого парадокса. Не удалось», — констатировал Алескеров.

Теорема Эрроу и её развитие

Окончательную точку поставил в 1951 году американец Кеннет Эрроу, будущий нобелевский лауреат. Он описал голосование набором минимальных естественных требований и доказал, что выполнить их все можно, лишь назначив «диктатора» — участника, чьи предпочтения автоматически становятся решением всех. Результат вошёл в науку как теорема о невозможности. «Я был знаком с Эрроу, много раз виделся, и вы себе не поверите, какое это произвело на меня впечатление», — отметил Алескеров.

Проверено повторно — ответ не изменился

Сам Алескеров вместе со своим учителем, одним из создателей теории выбора Марком Айзерманом, построил модели, развивающие теорему Эрроу: классические модели были пересмотрены, но вывод остался прежним. По словам учёного, Эрроу уважал, любил и поддерживал эти модели. «Идеальных моделей в рамках теории не существует. Если есть разногласия во мнениях, какое бы решение ни было принято, всегда какая-то часть голосующих будет этим решением недовольна», — заключил математик. Практический смысл этого вывода в том, что споры о «лучшем» способе голосования имеют объективный предел: выбор любой процедуры — это выбор, недовольство какой части участников считать приемлемым.